ЦИКЛОИДАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

Одним из древнейших способов образования кривых является кинематический способ, при котором кривая получается как траектория движения точки. Кривая, которая получается как траектория движения точки, зак­репленной на окружности, катящейся без скольжения по прямой, по окруж­ности или другой кривой, называется циклоидальной, что в переводе с греческого языка означает кругообразная, напоминающая о круге.

Рассмотрим сначала случай, когда окружность катится по прямой. Кривая, которую описывает точка, закрепленная на окружности, катящейся без скольжения по прямой линии, называется циклоидой.

Пусть окружность радиуса R катится по прямой а. С – точка, закрепленная на окружности, в начальный момент времени находящаяся в по­ложении А (рис. 1). Отложим на прямой а отрезок АВ, равный длине ок­ружности, т.е. АВ = 2 π R. Разделим этот отрезок на 8 равных частей точ­ками А₁, А₂, ..., А₈ = В.

Ясно, что когда окружность, катясь по прямой а, сделает один обо­рот, т.е. повернется на 360, то она займет положение (8), а точка С переместится из положения А в положение В.

Если окружность сделает половину полного оборота, т.е. повернется на 180, то она займет положение (4), а точка С переместится в самое верхнее положение С₄.

Если окружность повернется на угол 45, то окружность переместит­ся в положение (1), а точка С переместится в положение С₁.

На рисунке 1 показаны также другие точки циклоиды, соответс­твующие оставшимся углам поворота окружности, кратным 45.

Соединяя плавной кривой построенные точки, получим участок цикло­иды, соответствующий одному полному обороту окружности. При следующих оборотах будут получаться такие же участки, т.е. циклоида будет состо­ять из периодически повторяющегося участка, называемого аркой циклои­ды.

Обратим внимание на положение касательной к циклоиде (рис. 2). Если велосипедист едет по мокрой дороге, то оторвавшиеся от колеса капли будут лететь по касательной к циклоиде и при отсутствии щитков могут забрызгать спину велосипедиста.

 

Первым, кто  стал  изучать  циклоиду, был Галилео Галилей (1564 – 1642). Он же придумал и ее название.

Циклоида обладает целым рядом замечательных свойств. Упомянем о некоторых из них.

Свойство 1. (Ледяная гора.) В 1696 году И.Бернулли поставил задачу о нахож­дении кривой наискорейшего спуска, или, иначе говоря, задачу о том, какова должна быть форма ледяной горки, чтобы, скатываясь по ней, со­вершить путь из начальной точки А в конечную точку В за кратчайшее время (рис. 3, а). Искомую кривую назвали "брахистохроной", т.е. кривой кратчайшего времени.

Ясно, что кратчайшим путем из точки A в точку B является отрезок AB. Однако при таком прямолинейном движении скорость набирается медленно и затраченное на спуск время оказывается большим (рис. 3, б).

Скорость набирается тем быстрее, чем круче спуск. Однако при крутом спуске удлиняется путь по кривой и тем самым увеличивается время его прохождения.

Среди математиков, решавших эту задачу, были: Г.Лейбниц, И.Нь­ютон, Г.Лопиталь и Я.Бернулли. Они доказали, что искомой кривой явля­ется перевернутая циклоида (рис. 3, а). Методы, развитые этими учеными при решении задачи о брахистохроне, положили начало новому направлению математики - вариационному исчислению.

Свойство 2. (Часы с маятником.) Часы с обычным маятником не могут идти точ­но, поскольку период колебаний маятника зависит от его амплитуды: чем больше амплитуда, тем больше период. Голландский ученый Христиан Гюй­генс (1629 – 1695) задался вопросом, по какой кривой должен двигаться шарик на нитке маятника, чтобы период его колебаний не зависел от амплитуды. Заметим, что в обычном маятнике кривой, по которой движется шарик, является окруж­ность (рис. 4).

Искомой кривой оказалась перевернутая циклоида. Если, например, в форме перевернутой циклоиды изготовить желоб и пустить по нему ша­рик, то период движения шарика под действием силы тяжести не будет за­висеть от начального его положения и от амплитуды (рис. 5). За это свойство циклоиду называют также "таутохрона" – кривая равных времен.

Гюйгенс изготовил две деревянные дощечки с краями в форме циклоиды, ограничивающие движение нити слева и справа (рис. 6). При этом сам шарик будет двигаться по перевернутой  циклоиде и, таким образом, период его колебаний не будет зависеть от амплитуды.

Из этого свойства циклоиды, в частности следует, что независимо от того, с какого места ледяной горки в форме перевернутой циклоиды мы начнем спуск, на весь путь до конечной точки мы затратим одно и то же время.

 

Задачи       

1. Имеет ли циклоида: а) оси симметрии; б) центр симметрии?

2. Предположим, что круг без скольжения катится по прямой. Как мы знаем, точки на его окружности будут описывать циклоиды. Нарисуйте кривую, которую будет описывать: а) точка А, закрепленная внутри кру­га (укороченная циклоида); б) точка В, закрепленная вне круга (удлиненная циклоида) (рис. 7).

3. Нарисуйте траекторию движения вершины правильного n-угольника, катящегося по прямой аналогично окружности при: а) n = 3; б) n = 4; б) n = 6.

4. Докажите, что касательная к циклоиде перпендикулярна отрезку, соединяющему точку касания и точку соприкосновения окружности с прямой, по которой она катится.